Lim x mot oändlighet

Gränsvärde

Räkneexempel samt förklaringar till gränsvärde:

Exempel 1: Hitta gränsvärdet \lim_{x \to 3} 2x +4

Svar: 10

Förklaring: Uppgiften frågar alltså vilket värde funktionen 2x+4 går mot då x närmar sig 3. enstaka fiffig sak med toleransnivåer är för att om man kan stoppa in värdet direkt inom funktionen sålunda blir detta alltid korrekt. Om oss byter ut x mot tre inom funktionen således får vi

2 \cdot 3 + 4  = 6 + 4 = 10

Gränsvärdet är därmed

Exempel 2: Hitta gränsvärdet \lim_{x \to 0} \frac{3x}{x}

Svar: 3

Förklaring: Om oss försöker stoppa in värdet x=0 inom funktionen således får vi:

\frac{3 \cdot 0}{0} = \frac{0}{0}

Det blir division med 0! Det betyder att oss inte förmå stoppa in x direkt i funktionen eftersom funktionen inte existerar definierad inom punkten x=0. Det oss istället får göra existerar att inledningsvis förenkla funktionen. För för att förenkla 

\frac{3 x}{x}

så kunna vi titta att både täljare samt nämnare innehåller en faktor x. Alltså kan oss stryka x både ovan och beneath divisionstecknet:

\frac{3 \cdot x}{x}
Lim x-> -oändligheten. Uppgiften lyder: lim x →-∞ 2 x-1 3 x 2 + x + 1. Jag har beräknat gränsvärdet enligt följande: lim x →-∞ 2 x-1 3 x 2 + x + 1 = lim x →-∞ x ( x) x 2 (3 + 1 x + 1 x 2) = lim x →-∞ x ( x) x (3 + 1 x + 1 x 2) = lim x →-∞ ( x) (3 + 1 x + 1 x 2) = 2 3. Enligt facit ska det bli: 2 3. Vad är det. 1 bestäm gränsvärdet lim 2 lim x → ∞ x 2 + 1 2 x \displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{x^2+1}}{2x-1}. Om det existerar, vad borde gränsvärdet vara? Det handlar om vad som händer med kvoten när x x är ett mycket stort positivt tal. Om x x är ett mycket stort positivt tal så är täljaren x 2 + 1 \sqrt{x^2+1} väsentligen samma tal som x 2 \sqrt{x^2}, som. 3 vad är ett gränsvärde 4 Det här uttrycket utläser man som "funktionen f av x går mot oändligheten när x går mot 0". Ett mer kompakt sätt att skriva samma sak är så här: $$ \lim_{x \to 0}f(x)=\infty$$ Det här utläser man som "limes av f(x) när x går mot 0 är oändligheten". 5 Beräkna gränsvärdet $ \lim\limits_ {x \to \infty} $ $\frac {4} {x}+$$6$. Lösning. Genom att låta $x$ närma sig oändligt stora positiva värden kommer uttrycket närma sig värdet $6$, därför att. $ \lim\limits_ {x \to \infty} $ $\frac {4} {x}+$ $6=0+6=6$. Sammanfattningsvis lägger vi till följande definition. 6 Re: [MA 3/C]gränsvärde lim mot oändligheten Jaha tack! men jag förstår inte hur du fick ut 9/x, ska man inte göra roten ur alla tal först så att det blir lim (4x/2x+3)? skulle du kunna förklara steg för steg?. 7 gränsvärde engelska 8 Eller med andra ord: vad blir gränsvärdet för funktionen f då x går mot oändligheten? 9 När gränsvärden går mot positiv eller negativ oändlighet, vill vi undersöka vilka av termerna som dominerar då x är stort. 10

Gränsvärden

Gränsvärde när x går mot oändligheten

Man kunna på en intuitivt sätt förstå för att då \(x\) blir större och större så blir 1\(/x\) mindre och mindre. Gränsvärdet från 1\(/x\) när \(x\) går mot oändligheten är noll. Detta skrivs så här:

\[\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{1}{x}=0\]

"lim" är en förkortning av detta latinska termen limes (vilket betyder gräns). "lim" skall uttalas limes. Notera för att ett likhetstecken används, gränsvärdet är lika med noll.

Ett annat sätt att nedteckna gränsvärden på är:

\[\frac{1}{x}\rightarrow 0 \text{ då } x\rightarrow \infty \]

Här används istället pilar, 1\(/x\) är inte någonsin lika tillsammans noll, dock det går mot noll.

Blanda inte "lim" och pilar, eller formulering och likhetstecken; välj enstaka av formerna ovan!


inom det allmänna fallet k

Gränsvärde

När vi gick igenom rationella funktioner kom oss fram mot att funktioner, oftast betecknade f(x), har något som kallas definitionsmängd, liksom betyder vilka variabelvärden x, som är tillåtna för just den funktionen. 

Om vi tittar på enstaka funktion som

$$f(x)=\frac{1}{x^{2}}$$

så ser oss direkt för att x ej får äga värdet noll, eftersom divisor (x2) då blir noll. Men vilket händer tillsammans med funktionens värde när oss befinner oss nära x=0? Ett utmärkt sätt för att undersöka detta är genom att rita upp funktionens graf. en annat sätt är för att skapa ett tabell var vi provar vilka värden funktionen får, när oss väljer variabelvärden som ligger allt närmare det odefinierade värdet x=0

xf(x)
-11
-0,1
-0,01
11
0,1
0,01

När vi provar mindre samt mindre värden på x (positiva alternativt negativa), således märker oss att detta inte finns någon övre gräns till hur stort funktionsvärdet är kapabel bli. oss säger då att funktionsvärdet går mot oändligheten, ∞, efte

.